Наконец сформулировал для себя, чем мне не нравится ситуация, описанная в известной заметке Терри Тао. В ней он описывает три стадии математического образования:
1) Пре-строгость — математика преподается неформально, с размахиванием руками и обращением к интуиции (пример: калькулюс через наклоны, площади, скорость изменения значений и т.д.);
2) Строгость — все формализуется и становится более абстрактным (весь базовый анализ переписывается на языке «эпсилон-дельта»);
3) Пост-строгость — человек освоился с абстрактным языком, и теперь снова может обращаться к интуиции в решении задач, достигший этого уровня студент не пытается словом «очевидно» замаскировать свою неспособность строго что-то обосновать.
Тао замечает, что переход между первыми двум стадиями обычно весьма болезненный и трудный (каждый преподаватель неоднократно наблюдал полное зависание студента на простейших вопросах «на доказательство»). А затем добавляет, что и переход между второй и третьей стадиями не менее важен — научившись абстрактному подходу, следует не забывать про пользование интуицией и не ограничиваться формальными манипуляциями с символами по заданным правилам.
Я убежден, что проблема с переходом к пост-строгости вызвана разделением первых двух стадий.
Во-первых, мы же сами реально говорим студентам: «вот правильный способ делать математику, все должно быть строго и формально». Каюсь, сам отчасти совершаю этот грех — вот буквально позавчера, когда обсуждали конструкцию ℂ как факторкольца ℝx/(x²+1) и явно строили обратные (простите, 144!).
Во-вторых, в университете часто начинают сразу со второй стадии, еще больше тем самым подчеркивая различие между математикой школьной и университетской, «настоящей». Это не шутка, часто лекции по анализу реально после определения понятия функции сразу переходят к пределам на языке «эпсилон-дельта». Картинки про все большее приближение последовательности к предельному значению, конечно, тоже рисуют, но в итоге рядовой студент реально воспринимает только что-то одно, либо картинку, либо формальное определение (и на экзамене путает порядок кванторов, разумеется). Лекции по алгебре тоже бьют студента по голове сначала основами теории множеств со всеми этими отношениями эквивалентности, а затем сразу без разминки определениями группы и кольца. К экзамену студенту ничего не остается, кроме как вызубрить последовательности слов и навостриться формально ими манипулировать — это закрепляет его положение на второй стадии.
Моя позиция состоит в том, чтобы первую и вторую стадию не разделять — интуитивное понимание и строгое обоснование должны развиваться параллельно. Конечно, в этом есть опасность, что студент все равно воспримет только первую половину, касающуюся интуиции. Но с этим известно как бороться — демонстрировать примеры, ломающие интуицию, к каждому утверждению давать примеры, показывающие существенность каждого из предположений. И самое главное — задачи. Задачи не должны делиться на «задачи на вычисление» и «задачи на доказательство», обязательно надо давать задачи, в которых есть и то, и другое.
Если первая и вторая стадии не разделены, то становится не очень понятно, а есть ли вообще третья.
Для хорошего массового математического образования handwaving должен остаться в начальной и средней школе (или даже только в начальной, с постепенным внедрением строгости начиная со средней).